গাণিতিক সমস্যা আলোচনাঃ ধারা সংক্রান্ত সমস্যা

অনেক দিন থেকে একটা ইচ্ছা ছিল বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা নিয়ে একটি আলোচনা বিভাগ শুরু করবো। আজ তাই ২য় পর্বে ধারা সংক্রান্ত একটি সমস্যা দিয়ে শুরু করছি আমাদের নতুন এই বিভাগটি। এখন আপনি প্রশ্ন করতেই পারেন ১ম পর্ব কোথায়? ১ম পর্ব ‘সকলের সেকেণ্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক’ প্রকাশিত হয়েছে ‘পাই-জিরো টু ইনফিনিটি’-এর জুলাই’১৩ সংখ্যায়।

সমস্যাঃ
একটি ধারা নেই, 1+2+4+8+16+…..
অর্থাৎ প্রতিটি সংখ্যা এর আগের সংখ্যার 2 গুন।
সমস্যা একঃ
1+2+4+8+16+….. =1(1+2+4+8+16+…..) =(2-1)(1+2+4+8+16+…..); [যেহেতু 2-1=1]
=2(1+2+4+8+16+…..) – 1(1+2+4+8+16+…..)
=2+4+8+16+…-1-2-4-8-16… = -1

সুতরাং আমরা পাচ্ছি
1+2+4+8+16+… = -1
এই জিনিষটাই আমি বুঝলাম না, এতগুলো ধনাত্বক সংখ্যার যোগফল শেষে এসে -1 হয় কিভাবে?

সমস্যা দুইঃ আবার আরো ভয়ংকর জিনিষ,
1+2+4+8+16+…=infinite

আবার আমরা পেয়েছি
1+2+4+8+16+…= -1
তাহলেঃ infinite=-1
ভাই আমার মাথা তো আরো ঘুরাচ্ছে…

সমস্যা তিনঃ এবার আসি আরেকটু ক্যাচালেঃ
infinite=-1
আবার যেকোন n সদস্য N এর জন্য n/0=infinite। যেমনঃ 5/0=infinite
তাহলে 5/0=-1 এবং n/0=-1
???
(প্রশ্নটি করেছেন Sohan Chy)

সমাধান আলোচনাঃ

শূণ্যের রহস্য জানিয়েছেন, “এরকম উত্তর (১ম সমস্যাটির ক্ষেত্রে), পদের উলটপালট বিন্যাসের জন্য হয়! তবে আরো ব্যাপার আছে!!!”
আরিফুল হক রিয়াদের মতে সমাধানটি হবে এরূপ,
1+2+4+8+16+…..+2^(n-1)
= 1{1+2+4+8+16+…..+2^(n-1)}
= (2-1){1+2+4+8+16+…..+2^(n-1)}
= 2{1+2+4+8+16+…..+2^(n-1)} – 1{1+2+4+8+16+…..+2^(n-1)}
= 2+4+8+16+32…..+2*{2^(n-1)} – 1-2-4-8-16-……-2^(n-1)
= 2+4+8+16+32…..+2^n – 1-2-4-8-16-……-2^(n-1)
= 2^n – 2^(n-1) -1

সমস্যা গুলোর পরিপ্রেক্ষিতে সুব্রত পাল বলেছেন, “গোঁড়ায় গলদ আছে (2-1)(1+2+4+. . . . )। ধরি একদম শেষ সংখ্যাটি ‘n’. তাহলে =>(2-1)(1+2+4+. . . . +n) = 2(1+2+4+. . . .+n) -1(1+2+4+. . . +n) = 2+4+8+. . . . .+2n-(1+2+4+. . . +n) = n-1”
আতিকুল আলম বলেছেন, “-1 এই তো আসল সমস্যা মনে হচ্ছে।
(2-1)*(1+2+4+8+16+……..+inf) = 2(1+2+4+8+16+……+inf) – (1+2+4+6+8+16+…….+inf) = 2inf-1-inf = inf-1=inf
অথবা এভাবেও চিন্তা করা যেতে পারে [inf – 1 = inf, 2inf – 1 = inf, 2inf – inf = inf],
তাহলে, 2(1+2+4+8+16+…….+inf) – (1+2+4+8+16+……+inf) = (2+4+8+16+32+…..+2inf) – (1+2+4+8+16+…..+inf)=(2-1)+(4-2)+(8-4)+(16-8)+(32-16)+…..(2inf-inf)=1+2+4+8+16+….+inf”

লুৎফার রাহমান মিলু, আতিকুল আলমের সমাধানের পরিপ্রেক্ষিতে বলেছেন, “Infinity কে কোন কিছু দিয়ে গুন করার কোন সেন্স নেই। 2*infinity কে আমরা infinity হিসেবে treat করছি। Infinity কোন বীজগানিতিক রাশির সমাধান ধরা হয় না। তাই, বীজগানিতিক হিসেবের মধ্যে infinity থাকা যাবে না। তাই, 2inf – inf = 0 , এই ধরনের হিসেব, গনিত করতে পারছে না। এটা কোন valid সমীকরণ না।

সুব্রত পাল এর মাঝে একটি ছোট্ট তথ্য যোগ করেছেন, “infinity – infinity is not equal to 0”
Sayadul Mursalin Sumon-এর মতে, “প্রথম কথা হল 1+2+4+8…. একটি divergent সিরিজ , আর আপনি(প্রশ্নকর্তা) যে অপারেশন ঘটিয়েছেন তা convergent সিরেজের ক্ষেত্রে ঠিক আছে। Divergent সিরিজের ক্ষেত্রে তা প্রযোজ্য নয়। 1+1/2+1/4… একটি convergent ধারা। আশা করি কনভারজেন্ট ধারা বুঝতে পেরেছেন। এর একটি নির্দিষ্ট মান আছে। কিন্তু 1+2+4… ধারাটি divergent যার নির্দিষ্ট মান নেই। অসীম কোন মান নয়, এটা শুধুই একটা ধারণা।

দ্বিতীয় কথা হল something/0 = অসঙ্গায়িত। অসীম নয়। অসীম এবং অসঙ্গায়িত এর মাঝে পার্থক্য আছে। আসলে অসীম কি? অসীম এমন একটা জিনিস যা আমরা চিন্তাই করতে পারি না। যা আমাদের চিন্তার বাইরে তাই অসীম। এখন অসীম কে দ্বিগুন করলে কি হবে, এই প্রশ্নের উদ্ভব তখনই ঘটা সম্ভব যখন আপনি অসীমের একটা সীমারেখা কল্পনা করবেন। মহাবিশ্বকে অসীম বলা হয় কেননা এটা কত বড় তা আমরা জানিনা । যদি জানতাম তাহলে এটাও অসীম হত না।”
তিনি প্রশ্ন তুলেছেন, “সুব্রত পাল, 1+2+4…ধারাটিকে n এর মাধ্যমে কিভাবে প্রকাশ করলেন। এটাতো n পদ পর্যন্ত সমষ্টি নয়।”
“infinity – infinity=?” এই ব্যাপারে Maximus Decimus Meridius-এর মতে, “গণিতে ‘অসংজ্ঞায়িত’ ও ‘অসীম’ নামে দুটি শব্দ রয়েছে। অসীম থেকে অসীম বিয়োগ করলে কখনো কোন কল্পনাযোগ্য বা গণনাযোগ্য সংখ্যা পাওয়া যাবে না। infinity-infinity = infinity। তাই দ্বিতীয় ধাপে infinity=-1 ধরা ঠিক হবে না।”
প্রিয় পাঠক আলোচনা এখানেই শেষ নয়। আপনার গঠনমূলক মতামত বা সমাধান তুলে ধরুন। হয়তো আপনার প্রত্যুত্তর থেকে আমরা নতুন করে আরো অনেক কিছুই শিখতে পারবো। 🙂
‘জিরো টু ইনফিনিটি গ্রুপে বিভিন্ন পোস্টে যে সকল গাণিতিক সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা হয় তার ভিত্তিতেই নতুন বিভাগ ‘গাণিতিক সমস্যা আলোচনা’ বিভাগ শুরু হচ্ছে। ফেসবুকে ‘জিরো টু ইনফিনিটি’ গ্রুপে যত খুশি গাণিতিক সমস্যা পোস্ট করে এবং কমেন্টের মাধ্যমে আলোচনায় অংশগ্রহণ করুন এবং আপনাদের প্রশ্ন ও সমাধান সংক্রান্ত আলোচনা নিয়েই তৈরি করা হবে ‘গাণিতিক সমস্যা আলোচনা’ বিভাগ। সমস্যা ও তার সমাধান ওয়েব পোর্টালে প্রকাশের পর কমেন্টের মাধ্যমেও আলোচনা ও পর্যালোচনা চালু থাকবে। আপনার চমৎকার মন্তব্য বা প্রদত্ত সমস্যার সমাধান ওয়েব পোর্টালে মূল পোস্টের সাথে যোগ করা হবে।

সম্পাদনাঃ কাওসার ফারহাদ

Facebook Comments
Please follow and like us:
250

1 Response

  1. rezwan says:

    আচ্ছা ভাইয়া এখানে বার বার একটা বিষয়, অসীম নিয়ে চিন্তা না করে লিমিটেড কিছু নিয়ে চিন্তা করুন তারপর অসীম দেখা যাবে। ধরি, আমাদের সিরিজ ১+২+৪+৮+১৬=(২-১)(১+২+৪+৮+১৬)=২(১+২+৪+৮+১৬)-১(১+২+৪+৮+১৬) এটা কখনো -১ হতে পারে না। আপনি যেটা দেখিয়েছেন সেটা হচ্ছে প্রথম ২এর সাথে যে সিরিজ আছে ওটাতে একটা টার্ম কম নিয়েছেন এটাই গলদ।

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

error: Content is protected !!